บทที่ 1 เวกเตอร์

1.ปริมาณทางฟิสิกส์

ความยาว มวล และเวลามาตรฐาน

     เนื่องจากชีวิตประจำวันของเราจะเกี่ยวข้องกับการวัดมาตลอด เช่น ความยาว มวล เวลา เป็นต้นดังนั้นวิธีการวัด และเครื่องมือที่ใช้วัดจะต้องมีมาตรฐานเดียวกัน เพื่อประโยชน์ต่อการสื่อสารระหว่างกัน

ก.ความยาวมาตรฐาน มีหน่วยเป็น เมตร มาตรฐานของความยาวหนึ่งเมตร ซึ่งกำหนดเมื่อเดือนตุลาคม พ. ศ. 2526 กำหนดไว้ว่า

1 เมตร คือระยะทางที่แสงเดินทางในสุญญากาศในช่วงเวลา  วินาที

ตาราง 2.1 ขนาดความยาวบางค่าที่น่าสนใจ

                            

     

2.หน่วยในระบบนานาชาติ

     หน่วยเอสไอ ( SI = Systeme International d ' Unites ) เป็นระบบหน่วยระหว่างชาติใช้วัดปริมาณทางวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีเริ่มใช้เมื่อ พ.ศ. 2503 ระบบหน่วยระหว่างชาติประกอบด้วยหน่วยฐานและหน่วยอนุพันธ์

-หน่วยฐาน เป็นหน่วยหลักของหน่วยเอสไอ มี 7 หน่วย ดังตาราง 2.7

-หน่วยอนุพันธ์ เป็นหน่วยที่เกิดจากหน่วยฐานหลายหน่วยรวมกัน เช่น แรง ความดัน งานพลังงานกำลัง เป็นต้น ดูภาคผนวก

-คำอุปสรรค ในกรณีที่หน่วยฐานหรือหน่วยอนุพันธ์มีค่ามากหรือน้อยเกินไป เราจะใช้คำอุปสรรค (prefixes) เขียนวางไว้หน้าหน่วยนั้น โดยมีหลักว่า

•ใช้คำอุปสรรคครั้งเดียวโดยไม่ต้องเขียนซ้อนกัน
• เมื่อใช้คำอุปสรรควางหน้าหน่วยใดแล้วเวลายกกำลังไม่ต้องใส่วงเล็บ

3.เวกเตอร์และการรวมเวกเตอร์
    ปริมาณในทางฟิสิกส์ มี 2 ปริมาณ คือ

1. ปริมาณสเกลาร์ (Scalar) เป็นปริมาณที่บอกขนาดเพียงอย่างเดียว เช่น มวล , อัตราเร็ว , พลังงาน ฯลฯ

2. ปริมาณเวกเตอร์ (Vector) เป็นปริมาณที่บอกทั้งขนาดและทิศทาง เช่น ความเร็ว , ความเร่ง , การกระจัด , แรง ฯลฯ

1. การรวมเวกเตอร์

การรวมเวกเตอร์ หมายถึง การบวกหรือลบกันของเวกเตอร์ตั้งแต่ 2 เวกเตอร์ ขึ้นไป ผลลัพธ์ที่ได้เป็นปริมาณเวกเตอร์ เรียกว่า เวกเตอร์ลัพธ์ (Resultant Vector) ซึ่งพิจารณาได้ ดังนี้

1.1 การบวกเวกเตอร์โดยวิธีการเขียนรูป ทำได้โดยเขียนเวกเตอร์ที่เป็นตัวตั้ง จากนั้นเอาหางของเวกเตอร์ที่เป็นผลบวกหรือผลต่าง มาต่อกับหัวของเวกเตอร์ตัวตั้ง โดยเขียนให้ถูกต้องทั้งขนาดและทิศทาง เวกเตอร์ลัพธ์หาได้โดยการวัดระยะทาง จากหางเวกเตอร์แรกไปยังหัวเวกเตอร์สุดท้าย

จากรูป เวกเตอร ์  = 

1.2 การบวกเวกเตอร์โดยใช้วิธีการทางคณิตศาสตร์

ให้ เวกเตอร์ ทำมุมกับ เป็นมุม q คำนวณหาเวกเตอร์ลัพธ์ได้ ดังนี้

ขนาดของเวกเตอร์ลัพธ์คำนวณได้จากกฎของโคไซน์

ทิศทางของเวกเตอร์ลัพธ์หาได้จาก

a = ...........................................................(2)

หรือหาได้จากกฎของไซน์ ดังนี้

= =  .......................................................(3)

ข้อสังเกต จากสมการที่ (1) พบว่า

1. เมื่อ q = (คือ และ อยู่ในทิศทางเดียวกัน) จะได้ขนาดของ = โดยทิศทางของ มีทิศเดียวกับ และ 
2. เมื่อ q = 
   2.1 ถ้า > จะได้ = - และ มีทิศเดียวกับ  
   2.2 ถ้า < จะได้ = - และ มีทิศเดียวกับ 

3. เมื่อ q = จะได้

ขนาด R = และ a = 

1.3 การลบเวกเตอร์

การลบเวกเตอร์ สามารถหาเวกเตอร์ลัพธ์ได้เช่นเดียวกับการบวกเวกเตอร์ แต่ให้กลับทิศทางของเวกเตอร์ตัวลบ ดังนี้
 .............................(4)

2. เวกเตอร์หนึ่งหน่วย (Unit Vector)

เวกเตอร์หนึ่งหน่วย หมายถึง เวกเตอร์ที่มีขนาดหนึ่งหน่วยในทิศทางใดๆ เช่น เวกเตอร์ สามารถเขียนได้ด้วยขนาดของ คูณกับเวกเตอร์หนึ่งหน่วย ซึ่งมีทิศทางเดียวกับ คือ

=

หรือ  = .....................................................(5)
โดย คือ เวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มีขนาดหนึ่งหน่วยและทิศเดียวกันกับ 
ในระบบแกนมุมฉาก เวกเตอร์หนึ่งหน่วยบนแกน x , y และ z แทนด้วยสัญลักษณ์ , และ ตามลำดับ จะได้
=  ;  =  ; = ..............................(6)

เมื่อ คือ เวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับ มีทิศทางตามแนวแกน x

คือ เวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับ มีทิศทางตามแนวแกน y
คือ เวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับ มีทิศทางตามแนวแกน z

3. เวกเตอร์องค์ประกอบ (Component Vector)

3.1 องค์ประกอบของเวกเตอร์ใน 2 มิติ

ถ้า อยู่ในระนาบ x , y โดย ทำมุม q กับแกน x

องค์ประกอบของ ตามแกน x คือ โดย = Acosq
องค์ประกอบของ ตามแกน y คือ โดย = Asinq

ดังนั้น เวกเตอร์ เขียนแยกเป็นองค์ประกอบได้ ดังนี้
 =+   ............................(7)

หรือ

= Acosq + Asinq 

โดยที่ ขนาดของ 

=  .................................(8)

3.2 องค์ประกอบของเวกเตอร์ใน 3 มิติ

กำหนดให้ อยู่บนระนาบ x , y ,z โดยเวกเตอร์ ทำมุมกับแกน x , y , z เป็นมุม q _x , q _y , q _z

ตามลำดับ เวกเตอร์ สามารถแยกเป็นองค์ประกอบตามแกน x , y , z ได้ ดังนี้

ขนาดของ  แทนด้วย A_x = Acosq _x โดยที่ cosq _x = 
ขนาดของ แทนด้วย A_y = Acosq _y โดยที่ cosq _y = 
ขนาดของ แทนด้วย A_z = Acosq _z โดยที่ cosq _z = 
ดังนั้น  =
=

ขนาด  คือ

A =  .......................................(9)

ทิศทางของเวกเตอร์ คือ มุมที่ ทำกับแกน x , y , z หาได้จาก

 :  : 

4. เวกเตอร์ตำแหน่ง (Position Vector)

เวกเตอร์ตำแหน่ง หมายถึง เวกเตอร์ที่บอกตำแหน่งของวัตถุเทียบกับจุดใดจุดหนึ่ง เรียกว่า จุดอ้างอิง

จากรูป เวกเตอร์ และ เป็นเวกเตอร์บอกตำแหน่งของจุด P และ Q เทียบกับจุด O ในระบบพิกัด โดย

จะได้

โดยขนาดของ คือ

.....................................(11)

ทิศทางของ หาได้จาก

; ;  ...... (12)

5. การคูณเวกเตอร์ มี 2 แบบ ดังนี้

5.1 ผลคูณสเกลาร์ (Scalar product หรือ dot product แทนด้วยเครื่องหมาย " . " )

กำหนดให้ ทำมุม กับ ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ทั้งสองมีนิยาม ดังนี้

โดยที่ A และ B เป็นขนาดของเวกเตอร์ และ ตามลำดับ
 คือ มุมระหว่างเวกเตอร์ A กับ B

คุณสมบัติของผลคูณแบบสเกลาร์

ถ้า , , เป็นเวกเตอร์ใดๆ และ , , เป็น unit vector ในแนวแกน x , y ,z จะได้ว่า

คุณสมบัติของผลคูณแบบสเกลาร์

ถ้า , , เป็นเวกเตอร์ใดๆ และ , , เป็น unit vector ในแนวแกน x , y , z จะได้ว่า
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 

โดยที่

ผลคูณเวกเตอร์ (Vector Product หรือ Cross Product แทนด้วยเครื่องหมาย “x” )

กำหนดให้ และ เป็นเวกเตอร์ที่ทำมุม q ต่อกัน และ เป็นเวกเตอร์ลัพธ์ โดย
ขนาดของ มีนิยามว่า 

ทิศทางของ หาได้โดยใช้กฎมือขวา โดยปลายนิ้วทั้งสี่แทนทิศทางของ และหมุนไปหา จะได้นิ้วหัวแม่มือแทนทิศทางของ 

คุณสมบัติของผลคูณแบบเวกเตอร์

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 

หรือเขียนในรูปของดีเทอร์มิแนนท์ (Determinant) ได้ว่า

โดยที่

6. การหาอนุพันธ์ของเวกเตอร์

ถ้าเวกเตอร์ , และ เป็นฟังก์ชันของตัวแปรอิสระ U ดังนั้น จะได้
1. 
2. 
3. 
4. 
5.